摘要
水波的应用分析，通常是在 Euler 表示下进行的，见文献[1]以及许多其它著作。美国工程院院士梅强中的著作[1]《水波动力学》是他给中国提供的一个比较全方位的水波动力学的著作，还有周培源先生写的序言。其中第七、八两章，讲非线性水波，是很认真的。当然，其思路也是基于流体力学传统的 Euler 表示法。但自从 J. Scott Russel 在 1834 年，观察到孤立波以来，当时的理论在 Euler 表示之下，却总也不能得到解释，成为一个严峻的问题。期间出现了现在还广泛使用的 SVE 方程也不能解释孤立波的存在。一直到 1895 年出现了 KdV方程，方才可以解释孤立波的存在。在[1]的第七章，也给出了 KdV 方程。然而 KdV 方程给出的孤立波理论，只能用于单方向的传播，其相反方向传播的孤立波还是表达不了，这说明违反了对称性原理，因此不够理想。
然而，将位移法分析引入，并用于浅水波的分析，完全可以成功，请见文献[2-7]。著作[1]名《水波动力学》，我们首先看到动力学，然后冠之以水波的范围。既然是动力学，则辛对称性质就与之密切关联。大数学家 H. Weyl[8]在 1939 提出辛对称H. Weyl: The classical groups; Their Invariants and representations. University press, Princeton, 1939. 时，作者写道：“The name ‘complex group’ formerly advocated by me in allusion to line complexes, …has become more and more embarrassing through collision with the word ‘complex’ in the connotation of complex number.I therefore propose to replace it by the Greek adjective ‘symplectic’ ” 表达了：为了避免“complex”容易产生的混淆，特地引入了希腊形容词‘symplectic’。表明 “symplectic group”，辛群之意。辛对称性是动力学解的本质。 然而《水波动力学》对辛对称群却完全没有考虑。这是一个欠缺，所以本文的标题是“保辛水波动力学”以突出动力学的本来性质。《水波动力学》是很认真的水波著作，继承了传统的以速度为基本未知数的 Euler 描述体系在水波方面的发展。然而这是不充分的，尤其是进入到非线性波的分析方面。本文一改传统思路，采用以位移为基本未知数，就是以动力学的辛对称群为基础的动力学体系来讲述问题随后的发展。既然采用了不同的体系，不同的基础，不同的未知函数，还能够继续下去；当然也会有不完全相同的结果，而且因为考虑了辛对称群的基础，以及我国数学家冯康院士[9]提出的保辛算法，这些结果还能够将以往课题的困难，予以解决推进；尤其还有数值解法，可发展到在计算机上执行求解，以适应时代科技的需要。
首先要看辛对称群的出现，这是在动力学范畴内的表达。而在结构力学方面，则《计算结构力学与最优控制》出现了其模拟关系，而这是先从离散的角度讲述的。《力、功、能量与辛数学》则从结构力学的角度，将离散的传递辛矩阵，讲清楚了。只有传递辛矩阵才能构成构成传递辛矩阵群，而不是一个解向量。抽象一点讲，传递辛矩阵是一个算子。
自从 J. Scott Russel 在 1834 年观察到有浅水孤立波，随后有许多研究。线性理论对此无能为力，只能采用非线性的理论。[10]第三章讲述了浅水之中的长波，推导了经常使用的传统 SVE 理论的方程却不能得到浅水孤立波的解。一直到 1895 年发表的 KdV 理论的解方才能得到一个方向正向传播的浅水孤立波解。然而反方向传递的浅水孤立波却不能得到；表明对称性已经被破坏。从其推导过程以及波速的结果看，并不理想，也请见著作[1]。我们采用位移法，采纳了浅水波理论的基本假定[3,4]后，将垂直方向的动力因素加入[2,3,11]，就可将双方向传播的浅水孤立波予以分析求解，不但给出了正确的波速，而且也求解了孤立波交会的情况等许多问题[5,7]。表明对称性得到了保持。因为采用了基本的最小作用量变分原理进行分析推导，故动力学的基本性质得以保持。
但这些是在浅水波的基本假定 u(x, z, t)=u(x,t)，即刚性平移，之下得到的。在此基本假定下，根据不可压缩条件就得到了水面，而势能就随之得到。采用了不可压缩条件，非线性也随之而来。具体的推导过程在著作[3]5.9 节已经给出。因此孤立波必然伴随着非线性。然而由于当时[3]并未注重流体力学方面的进展，我们只是展示了辛数学方法的广泛适应性就结束了。现在重新审视水波动力学方面的问题，从动力学的角度看，以往未能加以重视的辛对称群，以及数值分析要保辛等方面，就成为新的因素，很可能可以走出自己的一条辛路子来。
将孤立波通过动力学最小作用量变分原理加以分析，辛对称群、保辛等一整套内容，就成为应有之义，显示出其重要性了。首先，浅水波的积分不只是出现孤立波，选用不同的积分常数，还有椭圆余弦波。这些在文献[7]等之中已经讲过了，但还不够完整。椭圆余弦波是非线性周期性的，而且在波幅很小时会与 Stokes 的线性理论波相衔接；而在波峰相距 L很大时，又会与孤立波相衔接。所以说，椭圆余弦波是一种两端会与不同的波浪理论想衔接中间状态的浅水周期波。我们关注椭圆余弦波，正是因为它的中间态势。
浅水波的椭圆余弦波虽然要求波幅远小于水深，然而毕竟是考虑了非线性因素的。当波幅非常小时，它就会逼近线性分析解。
关键字：水波；动力学；位移法；辛；哈密顿
参考文献
[1] 梅强中. 水波动力学[M]. 北京: 科学出版社, 1984.
[2] 钟万勰，姚征. 位移法浅水孤立波[J]. 大连理工大学学报. 2006, 46(1): 151-156.
[3] 钟万勰. 应用力学的辛数学方法[M]. 北京: 高等教育出版社, 2006.
[4] 钟万勰，陈晓辉. 浅水波的位移法求解[J]. 水动力学研究与进展A辑. 2006, 21(4): 486-493.
[5] 钟万勰，吴锋. 力-功-能-辛-离散——祖冲之方法论[M]. 大连: 大连理工大学出版社, 2016.
[6] 吴锋，钟万勰. 浅水问题的约束Hamilton变分原理及祖冲之类保辛算法[J]. 应用数学和力学. 2016, 37(1): 3-15.
[7] 吴锋. 基于位移的水波数值模拟——辛方法[M]. 大连: 大连理工大学, 2017.
[8] Weyl H. The Classical Groups: Their Invariants and Representations[M]. Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 1939.
[9] 冯康，秦孟兆. Hamilton 体系的辛计算格式[M]. 杭州: 浙江科技出版社, 2004.
[10] 吴云岗，陶明德. 水波动力学基础[M]. 上海: 复旦大学出版社, 2011.
[11] 钟万勰，吴锋，孙雁. 浅水机械激波[J]. 应用数学和力学. 2017, 38(8): 845-852.
报告人简介
钟万勰，中国科学院院士，工程力学与计算力学专家，中国计算力学发展的奠基人之一。钟万勰院士曾任中国力学学会计算力学专业委员会首任主任委员，第1至4届国际计算力学协会常务理事，英国威尔士卡迪夫大学、香港大学名誉教授。他立足于工程力学与计算力学，致力于相关新兴学科之间的交叉与渗透，拓宽研究领域，并用于工程实际，先后获1998年国际计算力学协会FELLOW奖、2001年何梁何利科技进步奖和全国模范教师称号、2009年辽宁省自然科学一等奖、2010年国家自然科学二等奖，以及2011年ICCES终身成就奖。
